罗素悖论与不可判定问题

发布于:2021-10-01 19:46:08

第六章 罗素悖论与不可判定问题

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罗素悖论与不可判定问题 第六章 罗素悖论与不可判定问题
罗素悖论及其彻底消除方法 §6.1 罗素悖论及其彻底消除方法
6.1.1 罗素悖论与已有解决方法简述 罗素悖论与已有解决方法简述 与已有解决方法 1902 年罗素、策梅罗发现了集合论中的一个重要的“策梅罗——罗素悖论” 。关于这个悖论 黄耀枢著《数学基础引论》 (北京大学出版社,1987 年出版)118-119 页作了如下叙述。 “依逻辑二分法,可把集合分为两类: 第一类: 第一类:非正常集合。例如:所有集合的集合、所有观念的集合,都是非正常的集合。这类 集合的特点是:集合本身也可以作为自己的一个元素。所以可以作如下的定义: 定义 1 如果 x 是非正常集合,当且仅当 x 可以包括自己作为一个元素。通常把满足非正常 集合的条件记为: x ∈ x 。 第二类: 第二类:正常集合。例如:所有中国人组成的集合、所有自然数组成的集合、所有拉丁字母 组成的集合等都是正常集合。这类集合的特点是:集合本身不能作为自己的一个元素。所以可以 给正常集合作如下一个定义: 定义 2 如果 x 是一个正常集合,当且仅当集合 x 本身不是自己的一个元素。通常把 x 满足 正常集合的条件记为: x ? x 。 现在设:所有不以自己为元素的集合组成一集合 R, 即令所有正常集合组成一集合 R。亦即

R = {x x ? x}。那么集合 R 包不包含自身?或者说集合 R 是属于第一类集合还是属于第二类集
合?” 结果得到: “集合 R 包含在 R 中当且仅当 R 不包含在 R 中的矛盾” 。 为了解决集合论中的悖论,在罗素的《数学原理》中建立了逻辑类型轮。其中一个内容说的 是: ‘应消除这种表示“非正常总体”的“所有集合的集合 R”的假设’(这句话摘自黄耀枢著《数 学基础引论》265 页)。这是罗素对集合论研究的有益且有用的贡献;但是,罗素没有能够用纯粹 逻辑方法建立起集合理论,在如何对待无穷集合问题上,他不是使用笔者的“自然数集合是一个 (不同于有穷集合的)理想的非正常集合”的做法,而是采用了“无穷公理” 。这个公理的采用, 实质上是采用了康托尔的“实无穷”观点,也可以说是采用了“肯定了自然数无穷总体的存在” 、 “所有数学对象的无穷总体都可以和通常的一个数学对象那样来处理” (这两句话摘自黄耀枢著 《数学基础引论》305 页)的柏拉图主意者的观点。在这种情况下,经过许多学者的努力,又建 立了 ZFC 公理集合论。在公理集合论中,根据“分出公理”使用排中律证明了“任何一集合 S 必 有一子集合 S ? ( x ) 不是 S 的元素”的定理和“不存在一个由所有集合组成的集合”的推论(这个 定理与推论摘自黄耀枢著《数学基础引论》133—134 页) 。这样一来,支持公理集合论的学者, 就认为:集合论中的矛盾被消除了。笔者对此有两点怀疑:第一,涉及无穷多事物时,存在着不 可判定的问题;这个问题的存在说明:排中律不能随便使用;只有事先判定它是“真假二值性问 题”时,才可以使用排中律。但是,在上述定理与推论的证明中在没有判明是不是可判定的情况 下就使用了排中律(参看上述文献 134 页) ,所以笔者对公理集合论中的上述结论怀疑。第二,在 集合论中把自然数看作是集合的基数,又把自然数的全体看作一个集合,这种做法是不是意味着 “自然数集合是所有集合的集合” ,即罗素悖论是不是还没有被消除?这是笔者的第二点怀疑。 6.1.2 罗素性质的一个新悖论 罗素性质的一个新 总之,笔者认为:在承认无穷公理之后,不能保证类似于罗素悖论的新的悖论不会出现。究 竟如何呢?2007 年笔者曾将东陆论坛数学分析区上一个同志提出的悖论简述与改写如下。 考虑两个集合:第一个集合为自然数集合:N={0,1,2,3,4,5,…,n,…};第二个

1 集合为: M = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ? ∪ An ?? . (式中 A0 = {0}, A1 = { , 2}, A2 = {3,4}, ? ,
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An = {2n ? 1, 2n}, ?? 。) 在上面的两个集合之中,第一个集合N为自然数的全体集合,在这
个集合之中,包含有全部所有的自然数.第二个集合M是自然数的分段集合的并集;从这里可以 看出:M中也包含有所有的自然数,M中的任何一个元素也全都是N中的元素,所以M=N;或 者说M与N是同一个集合. 从集合N与集合M的构成上, 做一一对应: 对应 A0 , 0 1对应 A1 , 2对应 A2 , 3对应 A3 , …, n 对应 An ,….然后:采用“自然数区间套进”的方法来进行分析:将 A0 , A1 , A2 相并得:

A0 ∪ A1 ∪ A2 = {0, 1, 2, 3, 4} ,在这个集合之中不仅包含有N中的原象 0,1,2,而且还包含
着 0,1,2对应的象的并集合中的元素 3 和4;原象集合{0,1,2}是象集合 A0 ∪ A1 ∪ A2 中的一个真子集.将 A0 , A1 , A2 , A3 相并得:

A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
在这个集合之中也是不仅包含有N中的原象 0,1,2,3以及 0,1,2,3对应的象的并集合 中的元素4,5,6,原象集合{0,1,2,3}是 A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 中的一个真子集.…, 依此类推:原象集合{0,1,2,3,…,n}是并集合

M n = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ? ∪ An = {0, 1, 2, 3, 4, ? , n, n + 1, ? , 2n}
中的一个真子集,…。所有原象N={0,1,2,3,…,n,…}是并集合

M = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ? ∪ An ??
一个真子集。即原象集合N是集合M的真子集. 由此便会产生一个矛盾:根据真子集的定义:如果集合N是集合M的真子集,则必有 M 中的 一个元素 x 不属于集合N,但根据这个元素属于集合M的性质,这个 x 为自然数,那么这个不属 于N的自然数 x ,属不属于N?根据真子集的定义,x 不属于N,但根据自然数集的定义:自然 数集是包含所有自然数的集合,N是全体自然数的集合,而 x 是一个自然数,所以 x 属于N。 这 个悖论就是涉及“所有集合的集合”的罗素悖论性质的悖论。这个悖论的提出说明:现有的包含 着“无穷公理”的公理集合论并没有消除罗素悖论引发第三次数学危机。

6.1.3 笔者对集合论的改革与上述悖论的消除 笔者对集合论的改革与上述悖论的消除 对集合论 上述悖论
上述悖论说明:包括 ZFC 公理集合论的现行集合论都是有问题的不能成立的理论。怎么办 呢?笔者在第五章中已经讲到:自然数集合 N 是自然数列中前 n 个数构成的有穷集合序列 { S n = {0, 1, 2, 3, ? , n}}的极限;有理数集合、实数集合、偶数集合都是有穷集合序列极限的构 造方法。对于这里的 M 也应当如此看待,即应当把 M 看做是序列 { M n = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ? ∪ An } 的极限。关于取极限的问题,我们必须知道:第一,极限性的事物常常是不能达到的理想事物; 为此,笔者再三坚持“无穷集合是不能被人们构成的理想集合”的观点;从这个观点出发,上述 集合 N、M 都是不能构成的集合。第二,有穷事物具有的性质,对于取极限后的理想事物不一定
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成立。例一,连续函数列的极限函数可以是不连续的。例二,对于有穷集合,既可以应用“一一 对应法则”判断两个集合中的元素个数是不是相等,又可以应用“真子集法则”比较两个集合之 间的元素多少。但在处理无穷集合时,就出现了能不能使用这两个法则去比较集合中含有元素多 少的伽利略问题:事实上,按照“一一对应法则” ,正整数集合与正整数*方集合之间既具有一一 对应的关系,又具有后一集合是前一集合的真子集的关系;因此就出现了“这两个集合的元素个 数是相等呢?或者是后者比前者少呢?”的伽利略困惑问题。根据我们改革无穷集合概念,去审 查上述悖论,可以看出:第一,上述两个集合 N 与 M 都是不可构成的无穷性质的理想集合;第 二,取极限之前的有穷集合 S n = {0, 1, 2, 3, ? , n}是 M n = A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪ A3 ? An 的真子集 关系,对于取极限之后的集合 N 与 M 可以不成立,即 N 可以不是 M 的真子集。这样一来,上述 悖论就不成立了。 上述讨论说明:现行集合论中无穷集合的理论是必须改革的理论。为了彻底消除消除这种悖 现行集合论中无穷集合的理论是 现行集合论中无穷集合的理论 必须改革的理论。 论,笔者还改写了正常集合的定义。这个定义是: 定义 1:满足下述两个条件的集合 S 叫做正常集合:1)S 不属于 S;2)S 的元素个数不是非 正常数 + ∞ (理想无穷大)的正常自然数.(这个定义说明:正常集合必须是有穷集合;无穷集合 不是正常集合.) 定理 1:对一切自然数 n, 集合{0,1,2,……, n-1}都是正常集合. 定理 2:包含所有自然数的集合不是正常集合. 定理 3:以所有正常集合为元素构成的集合 R,不是正常集合. 将这个定理 3 与罗素悖论相比较,可以看出:我们彻底消除了罗素悖论;其次,根据定理 2, 我们不能提出无穷基数与无穷序数的定义,这样就彻底消除了康托尔的基数悖论与布拉里-弗蒂 (Bural-Forti)的序数悖论以及连续统假设的大难题. 至于选择公理的争论,由于①实数集合是不可构成的集合;②超穷数不能提出;③第四章中 讲到的“点有理想点与*似点两种”和“理想点不能构成线段、曲面、球体”的概念,这个争论 也将自然消失。还需指出的是:笔者不承认集合论是数学的基础,也不使用 ZFC 与 NF 这些公理 集合论;虽然表达集合时笔者同意使用概括原则,但从联系实际的角度出发,根据无穷集合不可 构成的性质,必须把无穷集合看作不同于有穷集合的非正常集合. 此外,从表达个数的意义上, 自然数集合具有“所有集合的集合”的性质,这也说明:笔者将集合区分为正常集合与非正常集 合的做法是必要的. 最根本的是:要想彻底消除第三次数学危机,必须使用“理想与现实相互依 赖”的无穷集合概念与理论(即必须把无穷集合看作是非正常集合) 。

涉及无穷概念 几个不可判断问题及其解决方法 概念的 §6.2 涉及无穷概念的几个不可判断问题及其解决方法
关于无穷, 在第五章已经讲过 “无穷的基本意义是无有穷尽” 这种无穷概念是需要的, 。 例如: 无穷数列的项数、无尽小数的位数、自然数集合的元素个数、有理数集合、实数集合的元素个数 等都是这种意义的无穷。这种无穷带来了元数学理论中不可判断问题。首先应当知道元数学中的 “能行可判断定义” 现将北京大学出版社出版的黄耀枢 《数学基础引论》 ; (1989 年第二次印刷 ) 233 页中的这个定义叙述如下。 定义 1 如果存在一个算法,使得对所给的公式集合中每一个公式的真假,都能在有穷步数内 做出答案,那么我们说这集合中的公式是能行可判断的。 根据这个定义,现行数学理论中确实存在着不可判断问题。下边简单叙述一下这些问题及其 解决方法。 例 1,丢番图(Diophantius)方程是否有整数解的问题是不可判定的问题(参看莫绍揆教授 著《递归伦》227 页) 。我们解决方法是:根据理想性、常量性的无穷大是不存在的假无穷,所以 不去讨论所有丢番图方程的判定方法;我们可以从只有一个未知数方程,二个未知数的方程,三 个未知数的方程,……,而且是从低次到高次逐个逐次地去研究它解决它。客观事物是无穷的,
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我们的解决办法也是无穷的。 例 2,Brouwer 很早就提出了一个三分律的反例,这个反例后来又经过莫绍揆教授的修改。 这个修改后的提法是: 首先将 100 个相续的 0 的状况称之为一个“百零排” ,然后提出以下三种情 况(或称三个命题)(1)π 的小数展开式不包含“百零排”(2)π 的小数展开式中出现奇数个 : ; “百零排”(3) π 的小数展开式中出现偶数个“百零排” ; (关于这个反例的叙述以及这三种情况 可以查看徐利治 自然数列的二重性与双相无限性及其数学发展的影响[A], 徐利治《论数学方法 学》[C], 济南山东出版社,2003,490~501 页。。显然,在 π 的无尽小数展开式无法算到底、检 ) 查到底的“无穷具有无有终了”的基本性质下,上述三个命题都是人们无法直接推出(或称证明) 的不可判定命题。我们解决方法是:取消无尽小数作为实数的定义,无尽小数只能被看作是一种 无穷数列, 它的极限才是理想实数。 但它本身不是理想实数, 而是变数。 这样就消除了 Brouwer 提 出的这个三分律的反例。 (上海教育出版 例 3,关于实数集是不是可列的问题,在张锦文《集合论与连续统假设浅说》 社)49 页定理 10 中证明了集合[0,1]是不可列的。但仔细考察一下它的证明过程,就会发现: 它证明中需要做的“判断 p nn 是不是等于 5”的工作需要无穷次,所以根据上述定义,这个问题 是不可判定问题。关于这个问题,根据我们的无穷集合是不能被人们构成的理想集合的观点,我 们不去追究理想实数集合的可列性的研究;在需要逐个列出实数集的时候(例如制作对数表的时 候) ,我们使用的是*似实数集合。 (北京大学出版社 1998 年第二版)352 页中 介绍希尔伯特 例 4,王宪钧著《数理逻辑引论》 方案讲到“由于有穷观点承认潜无穷,当我们否定一个命题时,我们就进入了超穷领域。例如命 题:有一数 a ,使得 a + 1 ≠ 1 + a 。 这实际是一无穷析取,从有穷观点考虑,断定此命题真,至 少要给出一具体数字; 断定此命题为假,要证明其不可能。 有时既不能给出满足要求的具体数字, 又不能得到一不可能性的证明, 因之对于这种类型的命题, 排中律失效” 对于这个不可判定的问 。 题,在我们的,根本就不承认常量性理想无穷大存在的情况下,问题就解决了。事实上,第一, 根据我们的无穷概念,超限数是不存在的,所以 ω + 1 ≠ 1 + ω 的不等式不存在;第二,对任意自 然数 n , n + 1 ≠ 1 + n 也不成立。所以,希尔伯特的这个等式 a + 1 ≠ 1 + a 是不成立的等式;这 样就消除了这个不可判定的问题。 例 5 康托尔定理的表达式 S < P ( S ) 对有穷集合是成立的,但对无穷集合就有问题了。事实 上, 从张锦文 《集合论与连续统假设浅说》 (上海教育出版社) 页定理 8 中可以看出: 48 在判断 y 是否属于 S 0 时,他用了排中律。但是由于这个 S 0 可以是无穷集合,因此这时 y 是否属于 S 0 就是 一个不可判断的问题(进一步具体讨论可参看附录 5《唯物辩证法与集合论中的问题》;此时排 ) 中律不能使用,康托尔定理的证明是无效的。 至于康托尔定理的表达式 S < P ( S ) 对有穷集合是否成立的问题,现在在我们的“无穷集合 是不能构成的集合”观点下,我们不去比较无穷集合所含元素多少的问题,我们不需要提出无穷 基数;因此我们也不需要追究康托尔定理对无穷集合是不是成立的问题。

思考题
1 ZFC 集合论能彻底消除罗素悖论吗?第三次数学危机应当怎样消除? 2 不可定问题存在不存在?不可定问题应当怎样对待?

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